|
|
 |
Условие
Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.
Решение
Полученная фигура – прямоугольник, поскольку её стороны из симметрии перпендикулярны диагоналям ромба. Осталось проверить равенство его сторон. Для этого проведём несколько дополнительных прямых, перпендикулярных диагонали $AC$, и обозначим некоторые точки (см. рисунок).
Решение 1. Докажем, что $KL = LM$.
Способ 1. $RQ = RL = RS$ как касательные, проведённые из одной точки. Из равенства $RQ = RS$ по теореме Фалеса получаем $KL = LM$.
Способ 2. $\angle KQL = \angle RQL$ (они измеряются половинами равных дуг), то есть $QL$ – биссектриса угла $KQR$. Аналогично, $SL$ – биссектриса угла $ASM$. Следовательно, точка $L$ равноудалена от прямых $KQ$, $AB$ и $SM$, т.е. $KL = LM$.
Далее, одна из сторон полученного в условии прямоугольника равна $KN$. Из симметрии $LM = NP$. Тогда $KN = LP$, то есть диаметру вписанной в ромб окружности.
Аналогично и другая сторона прямоугольника равна этому диаметру.
Решение 2. Рассмотрим гомотетию с центром $L$, переводящую маленькую окружность, вписанную в угол $A$, в большую окружность. Она переводит $AQ$ в параллельную ей касательную к большой окружности, то есть в $CU$. При этом точка $Q$ переходит в точку $U$, то есть точки $Q$, $L$, $U$ лежат на одной прямой. Далее, $\angle VUL = \angle LUS$ как вписанные опирающиеся на симметричные дуги, поэтому прямоугольные треугольники $QUW$ и $QUS$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $UW = US$. Аналогично и смежная с $UW$ сторона полученного прямоугольника равна $US$.
