Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67148
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.


Решение

Полученная фигура – прямоугольник, поскольку её стороны из симметрии перпендикулярны диагоналям ромба. Осталось проверить равенство его сторон. Для этого проведём несколько дополнительных прямых, перпендикулярных диагонали AC, и обозначим некоторые точки (см. рисунок).

Решение 1. Докажем, что KL=LM.

Способ 1. RQ=RL=RS как касательные, проведённые из одной точки. Из равенства RQ=RS по теореме Фалеса получаем KL=LM.

Способ 2. KQL=RQL (они измеряются половинами равных дуг), то есть QL – биссектриса угла KQR. Аналогично SL – биссектриса угла ASM. Следовательно, точка L равноудалена от прямых KQ, AB и SM, т.е. KL=LM.

Одна из сторон полученного в условии прямоугольника равна KN. Из симметрии LM=NP. Тогда KN=LP, то есть диаметру вписанной в ромб окружности.

Аналогично и другая сторона прямоугольника равна этому диаметру.

Решение 2. Рассмотрим гомотетию с центром L, переводящую маленькую окружность, вписанную в угол A, в большую окружность. Она переводит AQ в параллельную ей касательную к большой окружности, то есть в CU. При этом точка Q переходит в точку U, то есть точки Q, L, U лежат на одной прямой. Далее, VUL=LUS как вписанные опирающиеся на симметричные дуги, поэтому прямоугольные треугольники QUW и QUS равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, UW=US. Аналогично и смежная с UW сторона полученного прямоугольника равна US.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 44
Дата 2022/23
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .