ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67148
УсловиеБольшая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.
РешениеПолученная фигура – прямоугольник, поскольку её стороны из симметрии перпендикулярны диагоналям ромба. Осталось проверить равенство его сторон. Для этого проведём несколько дополнительных прямых, перпендикулярных диагонали AC, и обозначим некоторые точки (см. рисунок).
Решение 1. Докажем, что KL=LM. Способ 1. RQ=RL=RS как касательные, проведённые из одной точки. Из равенства RQ=RS по теореме Фалеса получаем KL=LM. Способ 2. ∠KQL=∠RQL (они измеряются половинами равных дуг), то есть QL – биссектриса угла KQR. Аналогично SL – биссектриса угла ASM. Следовательно, точка L равноудалена от прямых KQ, AB и SM, т.е. KL=LM. Одна из сторон полученного в условии прямоугольника равна KN. Из симметрии LM=NP. Тогда KN=LP, то есть диаметру вписанной в ромб окружности. Аналогично и другая сторона прямоугольника равна этому диаметру. Решение 2. Рассмотрим гомотетию с центром L, переводящую маленькую окружность, вписанную в угол A, в большую окружность. Она переводит AQ в параллельную ей касательную к большой окружности, то есть в CU. При этом точка Q переходит в точку U, то есть точки Q, L, U лежат на одной прямой. Далее, ∠VUL=∠LUS как вписанные опирающиеся на симметричные дуги, поэтому прямоугольные треугольники QUW и QUS равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, UW=US. Аналогично и смежная с UW сторона полученного прямоугольника равна US. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке