|
|
 |
Условие
На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина – в синий. Может ли сумма длин всевозможных отрезков, у которых левый конец красный, а правый – синий, равняться сумме длин всех отрезков, у которых левый конец синий, а правый – красный? (Концы рассматриваемых отрезков – не обязательно соседние отмеченные точки.)Решение
Можно считать, что отмеченные точки – целые числа от 1 до 2022. Достаточно показать, что сумма $S$ длин всех отрезков с разноцветными концами нечётна.Способ 1. Пусть красно-чётных точек $x$, тогда красно-нечётных и сине-чётных – по $y = 1011 – x$, значит, сине-нечётных – $x$. «Разноцветные» отрезки чётной длины не влияют на чётность $S$, а количество таких отрезков нечётной длины равно $x² + y²$. Осталось заметить, что числа $x$ и $y$ разной чётности.
Способ 2. Пусть $k$ – координата красного конца отрезка, а $c$ – синего. Заменим длину |$k – c$| этого отрезка на $k + c$ – чётность $S$ не изменится. Но теперь в сумме по всем «разноцветным» отрезкам каждое число встретится ровно 1011 раз, то есть сумма равна 1011(1 + 2 + ... + 2022). Она нечётна, так как в скобках 1011 нечётных слагаемых.
Способ 3. Приведём только идею. Можно проверить, что $S$ чётна, для какой-то конкретной раскраски (например, когда слева направо идут сначала все синие точки, а потом все красные), после чего проверить, что чётность $S$ сохраняется, если менять местами цвета соседних точек.
