Выбрано 2 задачи 
Версия для печати
Убрать все задачи
Число x таково, что число x +
— целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn + 
также является целым.
Решение
Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a
k < n вытекает его
справедливость для n, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел
k 
a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Решение
Убрать все задачи
Число x таково, что число x +
РешениеАксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Решение
Задача 67150
|
|
 |
Условие
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?Решение
Докажем, что всегда среди имеющихся треугольников найдется неравнобедренный непрямоугольный треугольник. В начальный момент это так.
Пусть на очередном ходе имеющийся неравнобедренный непрямоугольный треугольник $ABC$ был разрезан по медиане $BM$. Так как он неравнобедренный, медиана $BM$ не совпадает с высотой, то есть один из углов $AMB$, $CMB$ тупой. Пусть это угол $AMB$. Покажем, что $AMB$ – нужный нам треугольник. Он тупоугольный (и значит, непрямоугольный). Так как $\angle ABC \ne 90^{\circ}$, медиана $BM$ не равна половине стороны $AC$, следовательно, $AM \ne BM$. Кроме того, $AB > AM$ и $AB > BM$ ($AB$ – сторона напротив наибольшего угла в треугольнике $AMB$). Значит, треугольник $AMB$ неравнобедренный.
