Задача 67150
|
|
 |
Условие
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?Решение
Докажем, что всегда среди имеющихся треугольников найдется неравнобедренный непрямоугольный треугольник. В начальный момент это так.
Пусть на очередном ходе имеющийся неравнобедренный непрямоугольный треугольник $ABC$ был разрезан по медиане $BM$. Так как он неравнобедренный, медиана $BM$ не совпадает с высотой, то есть один из углов $AMB$, $CMB$ – тупой. Пусть это угол $AMB$. Покажем, что $AMB$ – нужный нам треугольник. Он тупоугольный (и значит, непрямоугольный). Так как $\angle ABC \ne 90^{\circ}$, медиана $BM$ не равна половине стороны $AC$, следовательно, $AM \ne BM$. Кроме того, $AB > AM$ и $AB > BM$ ($AB$ – сторона напротив наибольшего угла в треугольнике $AMB$). Значит, треугольник $AMB$ – неравнобедренный.
