Задача 67152
|
|
 |
Условие
Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. Аналогично поступил Вася. Петя получил 1000 км. Какое наибольшее число мог получить Вася? (Города считайте точками плоскости; если двое живут в одном и том же городе, расстояние между их городами считается равным нулю.)Решение
Оценка. Пусть Вася живёт в городе $V$, а Петя – в городе $P$. Рассмотрим произвольного Васиного друга (это может быть и Петя), пусть он живёт в городе $X$. По неравенству треугольника $VX \leqslant PV + PX$, а эта сумма не больше суммы Пети, т. е. 1000 км. Значит, сумма расстояний от $V$ до городов всех 99 друзей Васи не более 99⋅1000 км.
Пример. Все, кроме Васи, живут в одном городе, а Вася – в 1000 км от них.
