|
|
 |
Условие
На сторонах равностороннего треугольника ABC построены во внешнюю сторону треугольники AB'C, CA'B, BC'A так, что получился шестиугольник AB'CA'BC', в котором каждый из углов A'BC', C'AB', B'CA' больше 120^\circ, а для сторон выполняются равенства AB'=AC', BC'=BA', CA'=CB'. Докажите, что из отрезков AB', BC', CA' можно составить треугольник.
Решение
Чтобы из предложенных отрезков можно было сложить треугольник, достаточно доказать, что наибольший из отрезков AB', BC', CA' меньше суммы двух других. Мы можем считать, что наибольший из этих отрезков — это AB'. Тогда повернём треугольник AB'C на 60^\circ против часовой стрелки относительно точки A. Точка C при этом перейдёт в точку B из-за того, что треугольник ABC — правильный, а точка B' — в новую точку B''. Теперь рассмотрим треугольник AC'B'': в нём боковые стороны AC' и AB'' равны, а угол между ними больше 60^\circ, поскольку угол C'AB' по условию больше 120^\circ. Следовательно, углы при основании C'B'' будут меньше 60^\circ. Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то C'B'' > AB'' = AB'. Рассмотрим треугольник B''C'B. В нём по неравенству треугольника C'B'' < BC'+B''B = BC' + CB'=BC'+ CA'. Тогда из двух полученных неравенств следует, что AB' < C'B'' < BC'+ CA'. Значит, из отрезков AB', BC', CA' можно составить треугольник.
