Условие
На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.
Решение
Чтобы из предложенных отрезков можно было сложить треугольник, достаточно доказать, что наибольший из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ меньше суммы двух других. Мы можем считать, что наибольший из этих отрезков — это $AB'$. Тогда повернём треугольник $AB'C$ на $60^\circ$ против часовой стрелки относительно точки $A$. Точка $C$ при этом перейдёт в точку $B$ из-за того, что треугольник $ABC$ — правильный, а точка $B'$ — в новую точку $B''$. Теперь рассмотрим треугольник $AC'B''$: в нём боковые стороны $AC'$ и $AB''$ равны, а угол между ними больше $60^\circ$, поскольку угол $C'AB'$ по условию больше $120^\circ$. Следовательно, углы при основании $C'B''$ будут меньше $60^\circ$. Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то $C'B'' > AB'' = AB'$. Рассмотрим треугольник $B''C'B$. В нём по неравенству треугольника $C'B'' < BC'+B''B = BC' + CB'=BC'+ CA'$. Тогда из двух полученных неравенств следует, что $AB' < C'B'' < BC'+ CA'$. Значит, из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.
Источники и прецеденты использования
