Задача 67189
|
|
 |
Условие
Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что
$$
a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1.
$$
Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.
Решение
Преобразуем уравнение к виду $$ a+b+c+d=(a+c)(b+d)+1. $$ После замены $x=a+c$ и $y=b+d$ получаем $$x+y=xy+1.$$ Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители: $$(x-1)(y-1) = 0.$$ Таким образом, $a+c= 1$ или $b+d = 1$. Пусть $a+c=1$. Сумма двух положительных целых чисел не меньше двух, следовательно, $a\leqslant0$ или $c\leqslant0$. Не умаляя общности, пусть $a\leqslant0$. Тогда $c>0$. Итого $|c|-|a| = c + a = 1$. Что и требовалось доказать.
