|
|
 |
Условие
На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.Решение 1
Итак, предположим, что диаметры выбраны так, что четырёхугольник $ABCD$ является описанным. Тогда $AB+CD = BC+AD$. Пусть $M$ и $N$ — центры окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно, а $P$ — точка касания. $\angle APB = \angle CPD = 90^{\circ}$, так как угол, опирающийся на диаметр, является прямым. По свойству медианы прямоугольного треугольника $MP= \frac{1}{2}AB$ и $PN = \frac{1}{2}CD$, следовательно, $MN = MP + PN = \frac{1}{2}(AB+CD) = \frac{1}{2}(BC+AD)$.
Утверждение.
Длина средней линии выпуклого четырёхугольника (т.е. отрезка, соединяющего середины его противоположных сторон) не превосходит полусуммы двух других сторон и равна ей, если эти стороны параллельны и только в этом случае.
Доказательство. Пусть $ABCD$ — четырёхугольник, $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Отметим точку $K$ — середину $AC$. Тогда $MK$ и $KN$ являются средними линиями в треугольниках $ABC$ и $ADC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2}BC$ и $KN = \frac{1}{2}AD$. По неравенству треугольника $\frac12(BC+AD) = MK+KN \geqslant MN$. Равенство достигается, только когда точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. В этом случае $BC$ и $AD$ параллельны этой прямой, так как она будет содержать средние линии треугольников $ABC$ и $ADC$.
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению, $MN\parallel BC\parallel AD$. Ясно, что $\angle MPA = \angle PAD$ из параллельности $MN$ и $AD$. Кроме того, $\angle MAP = \angle MPA$, так как треугольник $APM$ равнобедренный. Таким образом, $AP$ является биссектрисой угла $BAD$. Аналогично $BP$, $CP$ и $DP$ тоже являются биссектрисами углов четырёхугольника. Таким образом, точка $P$, будучи точкой пересечения биссектрис, является центром вписанной окружности.
Наконец, покажем, что ГМТ непусто, то есть докажем, что найдётся хотя бы одно положение диаметров, при котором четырёхугольник $ABCD$ является описанным. Обозначим через $r_i$ радиус окружности $\omega_{i}$. Не умаляя общности, можно считать, что $r_1\leqslant r_2$. Если $r_1=r_2$, то проведём диаметры перпендикулярно $MN$. Тогда четырёхугольник $ABCD$ окажется квадратом. Пусть $r_1 < r_2$. Построим диаметр $AB$ так, что $AB\perp MN$. Проведём касательные к $\omega_{1}$ в точках $A$ и $B$. Они пересекают $\omega_{2}$ в четырёх точках, образующих прямоугольник. В качестве диаметра $CD$ возьмём одну из диагоналей этого четырёхугольника (см. рисунок). Тогда четырёхугольник $ABCD$ будет трапецией. Как и раньше, можно доказать, что точка $P$ есть точка пересечения его биссектрис, следовательно, он является описанным.
Решение 2
Участники олимпиады придумали другое доказательство, основанное на следующей лемме.Лемма. Пусть дан четырёхугольник $ABCD$ и точка $P$. Если $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$, то существует точка, изогонально сопряжённая точке $P$ относительно четырёхугольника $ABCD$. Более того, такой точкой явлется образ точки $P$ при изоциклической инволюции.
Итак, пусть даны описанный четырёхугольник $ABCD$ и точка $P$, причём описанные окружности треугольников $ABP$ и $CDP$ касаются. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — описанные окружности треугольников $BCP$ и $ADP$, а $Q$ — вторая точка их пересечения. Так как $\angle APB = \angle CPD = 90^\circ$, по лемме точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Тогда, с одной стороны, биссектрисы углов $ABC$ и $BCD$ пересекаются в середине дуги $PQ$ окружности $\alpha$, биссектрисы углов $BAD$ и $CDA$ пересекаются в середине дуги $PQ$ окружности $\beta$. С другой стороны, биссектрисы углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке. Такое возможно, только если окружности $\alpha$ и $\beta$ касаются, то есть $P=Q$. Следовательно, точка $P$ изогонально сопряжена сама себе, поэтому является точкой пересечения биссектрис и центром вписанной окружности.
Комментарий.
О свойствах изогонального сопряжения в четырёхугольнике и изоциклической инволюции можно почитать в проекте ЛКТГ «Кубика фокусов и циркулярные кубики» или посмотреть здесь: https://youtu.be/a0CqrAzJ54c
