|
|
 |
Условие
В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?Решение
В последний день все упорные выиграли. Значит, их не больше половины. Если их меньше половины, то каждый день была встреча между неупорными игроками. Остаётся рассмотреть случай, когда количество упорных $k$ составляет половину от общего количества игроков $2k$.Такой турнир длился $2k-1$ дней, и нужно доказать, что были хотя бы $k$ дней, когда была встреча между неупорными. Это равносильно тому, что было хотя бы $k$ дней, в которые была встреча между упорными, так как и тех, и других — ровно половина (если все упорные играют с неупорными, то в этих встречах участвуют все неупорные, и обратно).
Предположим противное: пусть встречи между неупорными игроками проходили менее чем в половине всех дней турнира. Тогда, как отмечено выше, то же самое можно сказать и про встречи между упорными игроками. Так как всего упорных игроков $k$, каждый упорный играл с упорными $k-1$ день. Поэтому единственный возможный вариант, при котором встречи между упорными игроками проходили менее чем в половине дней турнира, — это когда все упорные играют между собой в одни и те же дни. Другими словами можно сказать, что упорные проводят в этот $k-1$ день между собой минитурнир, а такое возможно, только если число упорных игроков чётно.
По условию $2k > 4$, то есть $k > 2$, а поскольку $k$ — чётное, то $k\geqslant4$. Тогда в первый из дней минитурнира играли по крайней мере две пары упорных игроков, а значит, было хотя бы два упорных, победивших в этот день. В дальнейшем они должны сыграть между собой, но тогда один из них проиграет после того как выиграл, что противоречит определению упорного игрока. Значит, наше предположение неверно и игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, не менее половины.
