Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока
упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём
неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]