Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2023 год
>>
11 класс. Первый день
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.
В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 67195 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67196 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67197 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67198 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67199 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
