ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67199
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

Решение

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$, удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты $h_{i}$ данного тетраэдра справедливо неравенство $\frac{h_{i}}{2} \leqslant 2 r$, где $r$ — радиус вписанной сферы, то есть $h_{i}\leqslant4r$, $i=1$, $2$, $3$, $4$ (см. рисунок).

Пусть $S_{i}$ — площадь грани, на которую опущена высота $h_{i}$. Докажем, что $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}$.

Предположим противное. Без нарушения общности можно считать, что площади граней пронумерованы в порядке их неубывания: $S_{1}\leqslant S_{2}\leqslant S_{3} \leqslant S_{4}$. В силу предположения в приведённых неравенствах хотя бы одно должно быть строгим. Поэтому не все $S_{i}$ равны между собой, и $$\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{4}>S_{1}.$$

Выразим объём тетраэдра двумя способами: $$ V=\frac{1}{3} h_{1} S_{1}=\frac{1}{3} r(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}) > \frac{1}{3} r \cdot 4 S_{1}.$$ Отсюда $h_{1} > 4r,$ что противоречит неравенству $h_{1}\leqslant4r$.

Следовательно, все $S_{i}$ равны, поэтому все $h_{i}$ тоже равны, так как $h_{i}=\frac{3 V}{S_{i}}$. Пусть $h$ — длина этих равных высот.

Из приведённого выше соотношения для объёма получаем $h=4 r$, то есть неравенство $h\leqslant4r$ обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если каждая высота содержит центр сферы и точку касания с гранью.

Пусть $H$ — основание высоты тетраэдра, опущенной из точки $A$ (см. рисунок). Тогда $H$ совпадает с точкой касания сферы и грани $BCD$. Пусть $BH=a$, тогда по теореме о касательной и секущей $a^2=\frac{h}{2}\cdot h$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABH$ получаем $$AB^2=AH^2+BH^2=h^2+a^2=h^2+\frac{h^{2}}{2}= \frac{3h^{2}}{2}.$$ Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

Ответ

да, верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2023
Номер 86
класс
Класс 11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .