|
|
 |
Условие
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?Решение 1
Пусть $r$ – радиус, $O$ – центр вписанной сферы $S$ тетраэдра $ABCD$. Пусть объем $V_{OABC}$ меньше четверти объема $V_{ABC}$ тетраэдра. Тогда $r$ меньше четверти высоты $h_D$, опущенной на грань $ABC$, то есть середина этой высоты не может лежать на $S$. Противоречие.Отсюда видно, что все высоты равны $4r$, центр $O$ лежит на пересечении высот и делит их в отношении $3:1$, считая от вершины. Таким образом, $O$ – пересечение плоскостей, параллельных граням и делящим высоты в отношении $3:1$. Но это пересечение совпадает с центром масс вершин тетраэдра, то есть основания высот совпадают с точками пересечения медиан граней.
Пусть $K$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Тогда $AO \perp BCD$, прямая $AK$ – проекция прямой $AO$ на грань $ABC$. По теореме о трёх перпендикулярах $AK \perp BC$, то есть все высоты граней совпадают с медианами. Следовательно, все грани – равносторонние треугольники.
Решение 2
Рассмотрим тетраэдр $ABCD$, удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты $h_{i}$ данного тетраэдра справедливо неравенство $\frac{h_{i}}{2} \leqslant 2 r$, где $r$ — радиус вписанной сферы, то есть $h_{i}\leqslant4r$, $i=1$, $2$, $3$, $4$ (см. рисунок).
Пусть $S_{i}$ — площадь грани, на которую опущена высота $h_{i}$. Докажем, что $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}$.
Предположим противное. Без нарушения общности можно считать, что площади граней пронумерованы в порядке их неубывания: $S_{1}\leqslant S_{2}\leqslant S_{3} \leqslant S_{4}$. В силу предположения в приведённых неравенствах хотя бы одно должно быть строгим. Поэтому не все $S_{i}$ равны между собой, и $$\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{4}>S_{1}.$$
Выразим объём тетраэдра двумя способами: $$ V=\frac{1}{3} h_{1} S_{1}=\frac{1}{3} r(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}) > \frac{1}{3} r \cdot 4 S_{1}.$$ Отсюда $h_{1} > 4r,$ что противоречит неравенству $h_{1}\leqslant4r$.
Следовательно, все $S_{i}$ равны, поэтому все $h_{i}$ тоже равны, так как $h_{i}=\frac{3 V}{S_{i}}$. Пусть $h$ — длина этих равных высот.
Из приведённого выше соотношения для объёма получаем $h=4 r$, то есть неравенство $h\leqslant4r$ обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если каждая высота содержит центр сферы и точку касания с гранью.
Пусть $H$ — основание высоты тетраэдра, опущенной из точки $A$ (см. рисунок). Тогда $H$ совпадает с точкой касания сферы и грани $BCD$. Пусть $BH=a$, тогда по теореме о касательной и секущей $a^2=\frac{h}{2}\cdot h$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABH$ получаем $$AB^2=AH^2+BH^2=h^2+a^2=h^2+\frac{h^{2}}{2}= \frac{3h^{2}}{2}.$$ Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.
