Задача 67202
|
|
 |
Условие
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?Решение
Приведём пример шести целых чисел, удовлетворяющих условию: $-8$, $ -2$, $ 1$, $ 4$, $ 10$, $ 16$. Числа $1$, $-2$, $4$, $-8$, $16$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $-8$, $-2$, $4$, $10$, $16$ — арифметическую прогрессию.
Покажем, что никакие пять различных целых чисел не удовлетворяют условию задачи. Предположим противное: пусть найдутся пять целых чисел, одновременно образующих геометрическую прогрессию и, возможно, в другом порядке, арифметическую прогрессию. Тогда они имеют вид $b$, $bq$, $bq^2$, $bq^3$, $bq^4$. Заметим, что $b\neq0$ и $q\neq0$ по определению геометрической прогрессии. Числа $b$, $bq^2$, $bq^4$ всегда одного знака и в арифметической прогрессии идут либо подряд при $q < 0$, либо через один при $q > 0$. В любом случае должно выполняться равенство $2bq^2=b+bq^4$, т.е. $b(q^2-1)^2=0$, откуда $q=\pm1$, но тогда среди чисел есть равные, что противоречит условию. Следовательно, пяти чисел недостаточно.
