Условие
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$.
Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
Решение
Поскольку прямые $DG$ и $AH$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AD$, а прямые $AH$ и $CF$ – относительно серединного перпендикуляра к $AC$, то $\angle CID=2\angle EAD=\angle CED$, т.е. точки $C$, $D$, $I$, $E$ лежат на одной окружности. Поэтому $\angle AEI=\angle CDI$, а так как $\angle AEL=\angle ADC=90^{\circ}$, то $\angle JEL=\angle IDA=\angle JAL$. Следовательно, точки $A$, $J$, $E$, $L$ лежат на одной окружности и $\angle AJL=90^{\circ}$.
Источники и прецеденты использования
