Задача 67212

Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ ГМТ (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Демин Д., Кухарчук И.

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$. Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$. Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$.

Решение

Геометрическим местом середин хорд $BC$ является окружность с диаметром $OP$, где $O$ – центр $\omega$ (см. задачу 54637). Поэтому геометрическим местом центров тяжести треугольников $ABC$ будет образ этой окружности при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $2/3$. Применив к этой окружности гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $3/2$, получим, что геометрическим местом центров окружностей 9 точек тоже будет некоторая окружность. А поскольку радиусы всех окружностей 9 точек равны, то они касаются двух фиксированных окружностей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	7 [8-9 кл]