Задача 67213

Темы:    [ Построения одной линейкой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Филипповский Г.Б.

В треугольнике $ABC$ ($a>b>c$) указаны инцентр $I$, а также точки $K$ и $N$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины $a-c$.

Решение

Известно (см., например, задачу 115617), что точка $T$ пересечения прямой $KN$ и биссектрисы $BI$ является проекцией точки $A$ на $BI$. Поэтому, если $AT$ пересекает $BC$ в точке $P$, то высота $BT$ треугольника $BPT$ совпадает с его биссектрисой. Следовательно, $BP=AB$ и $CP$ – искомый отрезок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	8 [8-9 кл]