Условие
Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касается их в точках $T_1$, $T_2$ соответственно. Пусть $A$ – произвольная точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_1$, а $B$ – точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_2$ такая, что $AT_1=BT_2$. Отличные от прямой $T_1T_2$ касательные из $A$ к $\omega_1$ и из $B$ к $\omega_2$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что нагелианы всех треугольников $ABC$ из вершины $C$ проходят через одну точку.
Решение
Докажем, что все нагелианы проходят через центр внутренней гомотетии окружностей. Для этого переформулируем задачу: пусть дан треугольник $ABC$, точки $T_1$, $T_2$ на стороне $AB$ симметричны относительно ее середины, две окружности, вписанные в углы $A$ и $B$, касаются $AB$ в точках $T_1$, $T_2$ соответственно. Тогда центр внутренней гомотетии окружностей лежит на нагелиане $CD$.
Заметим, что при движении точек $T_1$, $T_2$ по $AB$ центры окружностей движутся по биссектрисам углов $A$ и $B$ соответственно, а отношение их радиусов остается равным $\operatorname{ctg}\frac{A}2:\operatorname{ctg}\frac{B}2=AD:BD$. Следовательно, центр гомотетии движется по прямой, проходящей через $D$. При этом, поскольку $AC+AD=BC+BD$, вписанной окружности треугольника $ACD$ при этом движении соответствует вписанная окружность треугольника $BCD$.
Очевидно, что центр гомотетии этих окружностей лежит на $CD$. Значит, это верно для любой пары окружностей.
Источники и прецеденты использования
