ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Шатунов Л.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 67313

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$  – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$  – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67318

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67253

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Прямая Симсона ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67222

Темы:   [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касается их в точках $T_1$, $T_2$ соответственно. Пусть $A$ – произвольная точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_1$, а $B$ – точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_2$ такая, что $AT_1=BT_2$. Отличные от прямой $T_1T_2$ касательные из $A$ к $\omega_1$ и из $B$ к $\omega_2$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что нагелианы всех треугольников $ABC$ из вершины $C$ проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .