|
|
 |
Условие
Через вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$, $b_1$, $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$, получив $a_2$, $b_2$, $c_2$. Пусть $A_1=b_1\cap c_1$, $B_1=a_1\cap c_1$, $C_1=a_1\cap b_1$, аналогично определим $A_2$, $B_2$, $C_2$. Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$, где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$, $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$).
Решение
Лемма. Пусть точки $X'$, $Y'$, $Z'$ лежат на сторонах $YZ$, $ZX$, $XY$ соответственно треугольника $XYZ$. Тогда $$ S_{X'Y'Z'}=\frac{XY'\cdot YZ'\cdot ZX'+X'Y\cdot Y'Z\cdot Z'X}{4R_{XYZ}}. $$ (точки $X'$, $Y'$, $Z'$ могут лежать и на продолжениях сторон. В этом случае отрезки в формуле надо считать направленными)
Доказательство. Пусть $XY'=\alpha XZ$, $YZ'=\beta YX$, $ZX'=\gamma ZY$. Тогда $$S_{X'Y'Z'}:S_{XYZ}=1-\alpha(1-\beta)-\beta(1-\gamma)-\gamma(1-\alpha)=\alpha\beta\gamma+(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma),$$ и утверждение леммы следует из формулы $S_{XYZ}=(XY\cdot YZ\cdot ZX)/4R_{XYZ}$.
Применим теперь лемму к треугольнику $A_1B_1C_1$ и точкам $A$, $B$, $C$ на его сторонах. Обозначив $\angle B_1AC=\alpha$, $\angle C_1BA=\beta$, $\angle A_1CB=\gamma$ получим (использовав теорему синусов для треугольников $AB_1C_1$, $BC_1A_1$, $CA_1B_1$) $$ S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA(\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma+\sin(A+\alpha)\sin(B+\beta)\sin(C+\gamma))}{4R_1\sin\angle A_1B_1C_1\sin\angle B_1C_1A_1\sin\angle C_1A_1B_1}. $$ Применив теорему синусов к треугольнику $A_1B_1C_1$, получим, что знаменатель этой дроби равен $2S_1/R_1$. Осталось заметить, что при замене треугольника $A_1B_1C_1$ на треугольник $A_2B_2C_2$ числитель дроби не изменится.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2024 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 20 [10-11 кл] |
