Задача 67313

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шатунов Л.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$  – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$  – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.

Решение

Пусть $T_1$ и $T_2$  – точки касания вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$ со сторонами $BC$ и $AB$ соответственно, а $K$ и $L$  – точки касания вписанной в $ABCD$ окружности со сторонами $BC$ и $AB$ соответственно (см. рис.).

По свойству описанного четырёхугольника $AB + CD = BC + AD$, поэтому $|AD - CD| = |AB - BC|$. Из треугольников $BI_1T_1$ и $BI_2T_2$ имеем, что $r_1 = BT_1 \cdot \operatorname{tg}\angle CBI_1$, а $r_2 = BT_2 \cdot \operatorname{tg}\angle CBI_1$, откуда $$|r_1-r_2|=|B{T}_1-B{T}_2|\cdot \mathrm{tg}\frac{\mathrm{\angle }PBC}{2}\le |B{T}_1-B{T}_2|,$$ так как $\angle PBC < 90^{\circ}$. Заметим, что $BL = BK$ как отрезки касательных, а $BK = CT_1$, ведь $T_1$ и $K$  – точки касания вписанной и вневписанной окружностей треугольника $PBC$ со стороной $BC$, аналогично $BL = AT_2$. Тогда $|BC - AB| = |BT_1 - BT_2 + CT_1 - AT_2| = |BT_1 - BT_2| \geq |r_1 - r_2|$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	87
Год	2024
класс
Класс	10
задача
Номер	4