Условие
Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ вторично пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Точки $A_2$, $B_2$; $C_2$ – середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
Решение
Так как $A_1$, $B_1$, $C_1$ – середины дуг $BC$, $CA$, $AB$ соответственно, то дуги $B_1C$ и $A_1C_1$ составляют в сумме полуокружность, а значит, прямые $CC_1$ и $A_1B_1$ перпендикулярны. Поэтому прямые $A_1A$, $B_1B$, $C_1C$ являются высотами треугольника $A_1B_1C_1$, а точка $I$ их пересечения – его ортоцентром. Точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ являются проекциями центра $O$ окружности $ABC$ на $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, следовательно, они лежат на окружности с диаметром $OI$. Тогда $\angle B_2A_2C_2=\angle B_2IC_2=\angle B_1A_1C_1$. Аналогично получаем, что $\angle A_1B_1C_1=\angle A_2B_2C_2$, а значит, треугольники подобны.
Замечания
Утверждение задачи является частным случаем следующего факта. Если $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $P$ – произвольная точка плоскости, а $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на $AH$, $BH$, $CH$ соответственно, то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.2 |
