Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, вне треугольника взята точка $D$, так что $\angle ADC=\angle BAC$ и отрезок $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Известно, что расстояние от точки $E$ до катета $AC$ равно радиусу описанной окружности треугольника $ADE$. Найдите углы треугольника $ABC$.

   Решение

Тема:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ и высота $AH$ пересекаются в точке $O$. Вне треугольника отмечена точка $D$ так, что $AOCD$ – параллелограмм. Чему равно $BD$, если известно, что $MO=a$, $OC=b$?

Решение

Возьмем на луче $CM$ такую точку $K$, что $CM=MK$. Тогда $CAKB$ – параллелограмм, т.е. $AK=BC$ и $AK\parallel BC$. Кроме того, $AO=CD$ и $\angle BCD=\angle OAK=90^{\circ}$, потому что $AH$ – высота. Следовательно, треугольники $BCD$ и $KAO$ равны, т.е. $BD=OK=2CM-CO=2a+b$.

Ответ

$2a+b$.

Источники и прецеденты использования