Условие
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.
Решение
По точкам $A$, $P$, $W$ построим окружность $\omega$, ее центр $O$ и точку $A'$, противоположную $A$. Так как $\angle APA'=\angle APH=90^{\circ}$, точка $H$ лежит на прямой $PA'$. Поскольку $\angle ABA'=\angle ACA'=90^{\circ}$, четырехугольник $HBA'C$ – параллелограмм, т.е. $H$ и $A'$ симметричны относительно середины $M$ стороны $BC$. Поэтому мы можем построить $M$, как пересечение $PA'$ и $OW$, а затем провести через $M$ перпендикуляр к $OW$ и найти точки $B$, $C$ его пересечения с $\omega$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.7 |
