Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67246
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть точка M – середина катета AB прямоугольного треугольника ABC с прямым углом A. На медиане AN треугольника AMC отмечена точка D, так что углы ACD и BCM равны. Докажите, что угол DBC также равен этим углам.

Решение 1

Точка D, изогонально сопряженная D относительно треугольника ABC, является проекцией A на CM. Поэтому MB2=MA2=MDMC, треугольники BMC и DMB подобны и DBC=DBM=BCM.

Решение 2

Так как CM – медиана, AC:BC=sinMCB:sinMCA=sinACD:sinDAC=AD:CD, т.е. AC:AD=BC:CD. Кроме того, CAD=ACM=BCD. Следовательно, треугольники ACD и BDC подобны и DBC=ACD.

Замечания

Точка D является проекцией ортоцентра треугольника ABC на медиану, т.е. точкой Шалтая. Соответственно точка D – точка Болтая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2023
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .