Задача 67246

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Марданов А.

Пусть точка $M$ – середина катета $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $A$. На медиане $AN$ треугольника $AMC$ отмечена точка $D$, так что углы $ACD$ и $BCM$ равны. Докажите, что угол $DBC$ также равен этим углам.

Решение 1

Точка $D'$, изогонально сопряженная $D$ относительно треугольника $ABC$, является проекцией $A$ на $CM$. Поэтому $MB^2=MA^2=MD'\cdot MC$, треугольники $BMC$ и $D'MB$ подобны и $\angle DBC=\angle D'BM=\angle BCM$.

Решение 2

Так как $CM$ – медиана, $AC:BC=\sin\angle MCB:\sin\angle MCA=\sin\angle ACD:\sin\angle DAC=AD:CD$, т.е. $AC:AD=BC:CD$. Кроме того, $\angle CAD=\angle ACM=\angle BCD$. Следовательно, треугольники $ACD$ и $BDC$ подобны и $\angle DBC=\angle ACD$.

Замечания

Точка $D'$ является проекцией ортоцентра треугольника $ABC$ на медиану, т.е. точкой Шалтая. Соответственно точка $D$ – точка Болтая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1