ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67246
УсловиеПусть точка M – середина катета AB прямоугольного треугольника ABC с прямым углом A. На медиане AN треугольника AMC отмечена точка D, так что углы ACD и BCM равны. Докажите, что угол DBC также равен этим углам. Решение 1Точка D′, изогонально сопряженная D относительно треугольника ABC, является проекцией A на CM. Поэтому MB2=MA2=MD′⋅MC, треугольники BMC и D′MB подобны и ∠DBC=∠D′BM=∠BCM.
Решение 2Так как CM – медиана, AC:BC=sin∠MCB:sin∠MCA=sin∠ACD:sin∠DAC=AD:CD, т.е. AC:AD=BC:CD. Кроме того, ∠CAD=∠ACM=∠BCD. Следовательно, треугольники ACD и BDC подобны и ∠DBC=∠ACD. ЗамечанияТочка D′ является проекцией ортоцентра треугольника ABC на медиану, т.е. точкой Шалтая. Соответственно точка D – точка Болтая.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке