Задача 67254
|
|
 |
Условие
В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?Решение
а) Подходит пример, когда у первого ушедшего 2 г мусора, а у второго – 4 г.
б) Занумеруем нерях в порядке их ухода на обед. Пусть на столе i-того неряхи лежит
$2^i$ г мусора. После ухода первого на его столе окажется $2 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^9 = 2^{10}$ г мусора, а на остальных столах вес мусора уменьшится вдвое, то есть произойдёт циклический сдвиг. После ухода второго произойдёт аналогичный сдвиг, а после 10 таких сдвигов на всех столах окажется исходное количество мусора.
