|
|
 |
Условие
На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)Решение
Решение 1. Пусть есть пара противоположных кубиков, то есть сумма точек на их верхних гранях равна 7. Заметим, что на эту пару потребуется суммарно 2 рубля, к какому бы значению ни захотелось их привести. Будем откладывать пары противоположных, пока они есть. Так как исходное количество кубиков нечётно, то в конце останется хотя бы один кубик. Тогда остальные непарные кубики, каждый не более чем за рубль, можно привести в состояние этого оставшегося кубика. Значит, 2022 рублей хватит.С другой стороны, мог остаться только один кубик без пары, поэтому 2022 рубля необходимо.
Решение 2. Обозначим через $k_i$ общее количество кубиков с $i$ точками на верхней грани, а через $n_i$ – наименьшее количество рублей, за которое можно на всех верхних гранях сделать по $i$ точек. Тогда $k_1 + … + k_6 = 2023$, а $n_1 = k_2 + k_3 + k_4 + k_5 + 2k_6 = 2023 + k_6 – k_1$, и аналогично $n_2 = 2023 + k_5 – k_2, ..., n_6 = 2023 + k_1 – k_6$. Тогда $n_1 + … + n_6 = 6⋅2023$. Пусть среди чисел $n_1, …, n_6$ нет числа, меньшего 2023. Тогда $n_1 = … = n_6 = 2023$, откуда $k_1 = k_6, k_2 = k_5, k_3 = k_4$, поэтому $2023 = k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5 + k_6 = 2(k_1 + k_2 + k_3)$ – чётное число. Противоречие. Значит, одно из чисел $n_1, …, n_6$ не превосходит 2022, то есть 2022 рублей в любом случае достаточно.
При $k_1 = … = k_5 = 337$, $k_6 = 338$ получим $n_1 = 2024, n_2 = … = n_5 = 2023, n_6 = 2022$, то есть 2021 рубля недостаточно.
