Задача 67260
|
|
 |
Условие
Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму $$ Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor . $$ Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)Решение
Очевидно, $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor \leq\left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor$. Неравенство $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor < \left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor=m$ означает, что $x-1 < k m \leq x$, откуда $x=k m$, то есть $x$ делится на $k$, и тогда $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor-1$. Верно и обратное: если $x$ кратно $k$, то $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor < \left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor$. Пусть $y=10^{n}$.
Тогда среди чисел $\lfloor y\rfloor-\lfloor y-1\rfloor,\left\lfloor\frac{y}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{y-1}{2}\right\rfloor, \ldots,\left\lfloor\frac{y}{y}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{y-1}{y}\right\rfloor$ единиц ровно столько, сколько у числа у натуральных делителей, не превосходящих $y$, а остальные числа равны нулю. Разность $Q(y)-Q(y-1)$ равна сумме вышеуказанных чисел, и значит, равна количеству натуральных делителей числа $y=2^{n} \cdot 5^{n}$, то есть $(n+1)^{2}$.
Ответ
$(n+1)^{2}$.Замечания
См. также задачу 67257.
