|
|
 |
Условие
Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположеныa) на плоскости;
б) в пространстве?
Решение
а) Лемма. Если в треугольнике две стороны больше 2, а угол между ними больше $105^{\circ}$, то длина третьей стороны больше 3.
Доказательство. Заметим, что $\sin 15^{\circ}=\frac{\sin 30^{\circ}}{2 \cos 15^{\circ}} > \frac{\sin 30^{\circ}}{2}=\frac{1}{4}$. По теореме косинусов квадрат третьей стороны больше $2^{2}+2^{2}-8 \cos 105^{\circ}=8+8 \sin 15^{\circ} > 10 > 3^{2}$. Рассмотрим два случая.
1) Выпуклая оболочка данных пяти точек — пятиугольник $ABCDE$. Тогда один из его углов (пусть $B$) не меньше $3 \cdot 180^{\circ}: 5=108^{\circ}$. По лемме $AC > 3$.
2) Выпуклая оболочка — четырёхугольник или треугольник. Тогда одна из точек (пусть $D$) принадлежит одному из треугольников (пусть $ABC$), образованному тремя другими точками. В этом случае один из углов $ADB, ADC, BDC$ не меньше $120^{\circ}$. По лемме сторона треугольника, на которую он опирается, больше 3.
Замечания.
1. Случай, когда выпуклая оболочка — отрезок, очевиден.
2. Аналогичные рассуждения доказывают, что найдутся даже точки на расстоянии, большем $1+\sqrt{5}$. Улучшить этот результат нельзя, что доказывает пример правильного пятиугольника.
б) Пример. Рассмотрим пять вершин правильной четырёхугольной пирамиды с равными рёбрами и диагональю основания длины 3. Тогда длины всех рёбер равны $\frac{3}{\sqrt{2}} > 2$. Можно даже взять 6 точек — в вершинах правильного октаэдра, или в вершинах правильной треугольной призмы с равными рёбрами, у которой диагональ боковой грани равна 3.
Замечание. В условиях задачи в пространстве можно показать, что расстояние между какими-то двумя точками больше $4 \sqrt{\frac{3}{7}} \approx 2,6186$. Этот результат нельзя улучшить, что показывает следующий пример.
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду со стороной основания 3 и высотой 1,5. Её боковое ребро равно $\sqrt{3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{2} > 2$. Склеив две такие пирамиды основаниями, получим бипирамиду (5 вершин), у которой отношение наибольшего расстояния между вершинами к наименьшему как раз равно $2 \sqrt{\frac{3}{7}}$.
