Условие
Рассмотрим различные прямоугольники периметра 10, лежащие внутри квадрата со стороной 10. Чему равна наибольшая возможная площадь закрашенной звёздочки (см. рисунок)? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Решение
Рассмотрим две противоположные стороны прямоугольника. Пусть длина каждой из них равна $a$. Соединим их с центром прямоугольника и с вершинами квадрата $A$ и $C$, как это сделано в звёздочке. В четырёх получившихся треугольниках опустим высоты $h_1$, $h_2$, $h_3$ и $h_4$.
Общая площадь этих четырёх треугольников равна $\frac{1}{2}\cdot a\cdot (h_1 + h_2 + h_3 + h_4)$.
Сумма высот равна проекции $CH$ диагонали квадрата $AC$ на перпендикуляр к выбранным сторонам прямоугольника. Значит, площадь «половины» звёздочки не больше, чем $\frac{1}{2}\cdot a \cdot AC$, и равна этому значению, когда стороны прямоугольника перпендикулярны диагоналям квадрата. Аналогично, площадь оставшихся четырёх треугольников звёздочки, примыкающих к стороне прямоугольника длины $b$, не больше, чем $\frac{1}{2}\cdot b \cdot BD$. Поэтому площадь всей звёздочки не больше, чем половина произведения диагонали квадрата на полупериметр прямоугольника:
$$\frac{1}{2}\cdot a \cdot AC+\frac{1}{2}\cdot b \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot (a+b) \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\sqrt{2} \approx 35,36,$$
и это значение достигается, если стороны прямоугольника перпендикулярны диагоналям квадрата.
Ответ
$25 \sqrt{2} \approx 35,36$.
Замечания
Из решения также следует, что площадь звёздочки не зависит от размеров сторон прямоугольника (при фиксированном периметре) и не меняется при параллельном переносе прямоугольника – всё зависит лишь от угла его наклона.
Источники и прецеденты использования
