Версия для печати
Убрать все задачи

---

Разрежьте первый параллелограмм на три части и сложите из них второй.

   Решение

Темы:    [ Равносоставленные фигуры ] [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Разрежьте первый параллелограмм на три части и сложите из них второй.

Ответ

Замечания

1. Любой параллелограмм нетрудно разрезать на две части и сложить из них другой параллелограмм с такими же основанием a и высотой h. Отсюда, кстати, можно увидеть, что все такие параллелограммы имеют одинаковую площадь, и найти эту площадь: она равна площади прямоугольника a × h. В частности, параллелограммы из условия имеют одинаковую площадь: 6×2=4×3.

2. Если первую фигуру можно разрезать на части и сложить из них вторую (будем говорить «перекроить первую фигуру во вторую»), а вторую можно перекроить в третью, то и первую можно перекроить в последнюю (подумайте, почему!). Это помогает найти решение задачи: можно сначала перекроить первый параллелограмм в параллелограмм с нужным наклоном боковой стороны (как показано выше), а потом изменить пропорции параллелограмма, не меняя наклон боковой стороны.

Можно поступить и по-другому: сначала «перекосить» (действуя, как в первом комментарии) первый параллелограмм так, чтобы у него появилась сторона длины 4, потом перекосить этот параллелограмм во второй. Получится другое разрезание — вершины частей, правда, уже не будут лежать в узлах сетки.

3. Теорема Бойяи-Гервина говорит, что вообще любые два многоугольника одинаковой площади можно перекроить один в другой. (Доказательство можно прочитать в брошюре В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставленные фигуры». Важную роль в нём играют две идеи из предыдущих комментариев.) Но, вообще говоря, может потребоваться много частей. Например, чтобы перекроить квадрат 1×1 в прямоугольник $\frac{1}{100}$×100, понадобится разрезать квадрат на несколько десятков частей.

Источники и прецеденты использования