Условие
Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству
$$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$
(Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Решение
Предположим, что целое $n > 1$ удовлетворяет этому неравенству. Имеем $[\sqrt{9n+6}]^2 \leq 9n+6$, но квадрат целого числа не может давать ни остаток $6$, ни остаток $5$ от деления на $9,$ откуда $[\sqrt{9n+6}]^2\leq 9n+4$, значит $[\sqrt{9n+6}]\leq [\sqrt{9n+4}].$ Тогда исходное неравенство влечёт неравенство
$\sqrt{n-2}+2\sqrt{n+2} < \sqrt{9n+4}.$ Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем, что
$4\sqrt{n^2-4} < 4n-2,$ откуда $n^2-4 < n^2-n+\frac{1}{4},$ а тогда $n < 4,25.$ Однако, прямая проверка показывает, что при $n\in\{2,3,4\}$ исходное неравенство не выполняется – противоречие.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
