Условие
На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Решение
Пусть силы детей равны 1, 2, ..., 12. Предъявим 10 возможных разбиений детей на две команды с равными силами. Тогда при каждом таком разбиении будет зафиксирована ничья.
Разобьём детей на пары с суммарной силой 13: (1, 12), (2, 11), (3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7). Пусть в первой команде всегда будет пара (1, 12) и ещё какие-то две из оставшихся пяти пар. При этом остальные три пары образуют вторую команду. Тогда суммарная сила каждой команды будет равна 3·13 = 39.
Две пары из пяти возможных пар можно выбрать 5·4:2 = 10 возможными способами. Таким образом, мы получили 10 возможных разбиений на команды с равными силами.
Ответ
Могло.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
