|
|
 |
Условие
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?Решение
Проще всего построить пример справа налево по следующей схеме. Сначала вместо нескольких последних звёздочек подбираются числа так, чтобы после извлечения очередного корня получалось целое число $n$ (они образуют так называемый «хвост» нашего выражения). Все дальнейшие суммы звёздочек также делаются равными $n$ (их мы можем заполнить, если выбрать $n$ таким образом, чтобы количество доступных пар чисел, дающих в сумме $n$, было достаточно большим). Тогда значение выражения будет равно $n$.В следующем выражении через $A$ обозначен «хвост» – цепочка вложенных корней, значение которой равно $n^2$. Таким образом, $\sqrt A=n$ и всё выражение равно $n$: $$ n=\sqrt{n \sqrt{n\ldots \sqrt{n\sqrt{A}}}}. $$ Например, можно взять $n=120$. При этом сделать $$A = (101+99) \sqrt{(120 + 96) \sqrt{(100 + 44) \sqrt{(1 + 15)}}}=120^2.$$ Теперь осталось сделать все оставшиеся $46$ сумм звёздочек равными $120$.
Всего есть $59$ представлений числа $120$ в виде суммы двух разных натуральных чисел ($1+119$, $2+118, \ldots, 59 + 61$). Из них недоступными оказываются те, что содержат числа $101$, $99$, $96$, $100$, $44$, $1$ и $15$, т. е. $7$ представлений. Поэтому $52$ представления оказываются доступными. Выберем из них любые $46$ представлений и поставим вместо оставшихся звёздочек.
