Условие
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Решение
Пусть в турнире участвовало $n$ команд. Заметим, что в
каждом матче две команды в сумме получают 2 или 3 очка. Значит, общее
количество очков, которые могут набрать все команды в одном круге, не
меньше, чем $2\cdot\frac{n(n-1)}{2}$, и не больше, чем
$3\cdot\frac{n(n-1)}{2}$. Из условия следует, что все команды вместе
набрали в первом круге ровно в полтора раза больше очков, чем во
втором (60% всех очков в первом круге и 40% во втором). Но это
возможно лишь в случае, если в первом круге все матчи закончились
победой одной из команд (общая сумма очков $3\cdot\frac{n(n-1)}{2}$),
а во втором – ничьей (общая сумма очков $2\cdot\frac{n(n-1)}{2}$).
Значит, победитель набрал во втором круге $n-1$ очков. По условию,
$30\cdot(n-1) = 3\cdot\frac{n(n-1)}{2}$, откуда находим $n = 20$.
Ответ
20.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
