Задача 67323
|
|
 |
Условие
Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно – точный квадрат.Решение
Если число $2+2 \sqrt{12 n^2+1}$ целое при $n\in\mathbb{N}$, то оно чётное. Обозначим $2+2 \sqrt{12 n^2+1}=2k$, $k\in \mathbb{N}$. Тогда $\sqrt{12 n^2+1}=k-1$. Возводя это равенство в квадрат, получаем $12n^2=k^2-2k$, откуда следует, что число $k$ чётное: $k=2m$, где $m\in \mathbb{N}$. Тогда $12n^2=4m^2-4m$, или $3n^2=(m-1)m$.Поскольку числа $m$ и $m-1$ взаимно просты, следует рассмотреть два случая:
1) $m-1=u^2$, $m=3v^2$, где $u,v\in\mathbb{N}$, $u\cdot v=n$;
2) $m-1=3u^2$, $m=v^2$, где $u,v\in\mathbb{N}$, $u\cdot v=n$.
В первом случае имеем $3v^2-1=u^2$, то есть $u^2$ даёт остаток 2 при делении на 3. Это невозможно, так как точный квадрат может давать при делении на 3 только остатки 0 или 1.
Во втором случае получаем $2+2 \sqrt{12 n^2+1}=4m=(2v)^2$ – точный квадрат, что и требовалось доказать.
