Задача 67327

Тема:    [ Ребусы ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Условие

Автор: Антропов А.

В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

Решение

$\text{ТУРЛОМ} = \text{ТУР} \cdot 1000 + \text{ЛОМ}$, то есть слагаемых не меньше 1000, и ЛОМ также равен сумме нескольких ТУРов. Поскольку оба эти числа — трёхзначные, в ЛОМе не больше девяти ТУРов; но и не меньше двух (поскольку разные буквы заменяют разные цифры, ЛОМ не может быть равен ТУРу и не может быть равен 0). Может ли ЛОМ состоять ровно из двух или ровно из девяти ТУРов? Да: если $\text{ТУР} = 135$, то $\text{ТУР} \cdot 2 = 270$, а если $\text{ТУР} = 103$, то $\text{ТУР} \cdot 9 = 927$. Значит, наименьшее количество ТУРов в ТУРЛОМе равно 1002, а наибольшее — 1009.

Комментарий. Для $1003,1004, \dots 1008$ слагаемых ребус также имеет решения.

Ответ

Наименьшее возможное количество туров 1002, наибольшее — 1009.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2024
задача
Номер	2