|
|
 |
Условие
По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.Решение
Решение 1. Пусть Глеб наберёт стакан кофе, отопьёт из него половину и перельёт оставшиеся полстакана в кружку. Далее Глеб нальёт полный стакан молока и 3 раза подряд отопьёт половину содержимого — после этого оставшуюся восьмую часть стакана перельёт в кружку. Теперь в кружке больше половины стакана смеси, причём $\frac{4}{5}$ смеси составляет кофе и $\frac{1}{5}$ — молоко. Теперь пусть Глеб снова наберёт полный стакан кофе и отопьёт половину, а затем дольёт в стакан смесь из кружки. Посчитаем, сколько в получившемся полном стакане окажется молока. Глеб долил $\frac{1}{2}$ стакана смеси, в которой молоко составляет $\frac{1}{5}$, а больше молока в стакане не было — значит, в нём стало $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ стакана молока. Значит, оставшиеся $\frac{9}{10}$ — это кофе, и в стакане теперь идеальный напиток.
Решение 2. Глеб может отмерять любую жидкость в объёме $\frac{1}{2^n}$ стакана. Если бы ограничений на объём кружки не было, он мог бы набрать в неё $1+\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$ стакана кофе, затем добавить туда $\frac{1}{8}$ стакана молока, размешать и налить полученное в стакан. Но $\frac{9}{8}+\frac{1}{8}=\frac{10}{8} = 1.25$, то есть всё это может не войти в кружку. Модифицируем способ: можно набрать в кружку $9k \cdot \frac{1}{2^n}$ кофе и $k \cdot \frac{1}{2^n}$ молока — тогда в ней будет идеальный напиток. Осталось только подобрать объём так, чтобы всё поместилось в кружку и при этом занимало не меньше стакана, то есть $10k \cdot \frac{1}{2^n}$ смеси должно занимать не больше $1,1$, но и не меньше 1 стакана. Подходит, например, $n=6$ и $k=7$: $\frac{70}{64} = 1,09375$.
