|
|
 |
Условие
а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.
Решение
а) Посмотрим, что происходит с каждой долькой шоколадки с течением времени. Покрасим диагонали шоколадки, как на рисунке — по две в каждый цвет, начиная с крайних и двигаясь внутрь. Если долька находится не на верхней полосе, то через минуту она сдвинется по диагонали своего цвета вправо-вверх. Если же долька была на верхней полосе, то через минуту она окажется внизу второй диагонали такого же цвета. Таким образом, каждая долька пройдёт по своей диагонали вправо-вверх, перейдёт на вторую диагональ своего цвета, пройдёт по ней, вернётся на свою изначальную диагональ и дойдёт до своего места. Осталось заметить, что в каждых диагоналях одного цвета в сумме 11 клеток — то есть через 11 минут все дольки окажутся на своих местах.
б) Здесь каждая долька бегает строго по диагонали своего цвета. Таким образом, каждая долька возвращается на место за число минут, равное длине её диагонали. Тогда первый момент, когда все дольки вернутся на места, настанет спустя число минут, равное наименьшему общему кратному длин диагоналей, то есть $$\text{НОК}(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 = 2520.$$
Комментарий. И в том, и в другом пункте описанное действие — это перестановка долек шоколадки. По сути, задача сводится к поиску порядка перестановки. За счёт наглядности в этой задаче было легко представить перестановку в виде одновременного действия нескольких циклов. Оказывается, любую перестановку можно представить в виде одновременного действия — произведения — нескольких циклов (задумайтесь — почему?), и тогда её порядок будет равен НОК-у длин всех циклов.
Это только один из сюжетов очень богатой и интересной теории о перестановках. Подробней о ней можно прочитать, например, в брошюре «Перестановки» (А.Шень).
