|
|
 |
Условие
Таня сделала кошелёк из двух клетчатых кусочков ткани $8\times10$, наложив их друг на друга и сшив друг с другом края обеих пар коротких сторон и нижних длинных сторон (см. рисунок, слева сплющенный кошелёк, справа приоткрытый).
Хулиган Вася сделал прямолинейный надрез на переднем слое ткани от одного узла сетки до другого. Но Таня не расстроилась, потому что смогла сложить из надрезанного кошелька кулёк (в сплющенном виде это двуслойный треугольник, не обязательно равнобедренный, нескреплённые стороны совпадают — пример кулька в сплющенном и в приоткытом виде см. на рисунке ниже).
Отметьте на рисунке-кошельке два узла сетки, между которыми мог провести надрез Вася.
Решение
Для начала поймём, как можно из надрезанного кошелька получить кулёк. Если прорезь Васи не доходит до верхнего края кошелька, то как ни складывай — кулёк не получится: в прорезанном кошельке две «дырки», а у кулька она только одна. Значит, надрез должен идти от одной из точек на верхнем крае кулька. Кроме того, у кулька только один угол, а у кошелька их два, причём, поскольку сумма плоских углов при них меньше $360^\circ$, расплющить угол кошелька в плоскую ткань не получится. Значит, надрез идёт от одного из углов до верхней стороны. Попробуем понять, в какую именно точку на верхнем крае идёт разрез. Отогнём верхний слой кошелька (см. рисунок). Края у кулька должны получиться ровные, значит, точки $A$ и $A'$ будут вершинами верхнего края кулька: при остальных точках нового края, включая точку $B$, угол или сумма углов равны $180^\circ$.
Чтобы понять положение точки $A$ на верхней грани с помощью теоремы Пифагора, вычислим длину $AB$. Сделать это можно разными способами.
Вариант 1. Точка $A$ станет углом кулька, значит, углы $BAC$ и $CAE$ после перегибания фигуры в кулёк должны совместиться. Однако, в силу параллельности сторон $BC$ и $DE$ имеем $\angle CAE = \angle ACB$, значит, $\angle BAC = \angle ACB$, и треугольник $ABC$ — равнобедренный. Таким образом, $AB = BC = 10$.
Вариант 2. Поскольку $A$ и $A'$ станут углами кулька, то длины переднего и заднего края кулька между ними должны быть равны. Передний край складывается из $A'B + AB = 2 AB$, задний — из отрезков $A'D=AD$, $DE=10$ и $AE=(10-AD)$. Значит, $2AB = 20$, $AB = 10$.
Итак, $AB = 10$, и по теореме Пифагора $AD = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$. Таким образом, точка $A$ находится на расстоянии 6 клеток от верхнего угла кошелька.
Комментарий. Разрезать таким образом кошелёк и сложить из него кулёк можно и при других соотношениях сторон — важно лишь, что верхняя сторона кошелька не короче вертикальной. В этом случае надрез $AB=BC \geqslant BD$ и $AB=DE < BE,$ значит, подходящая точка $A$ на верхней стороне кошелька найдётся.
