Задача 67336

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бельский К.

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина меньшей дуги $BC$ описанной окружности. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$, $AC$ в точках $P$, $Q$ соответственно и проходит через точку $M$. Докажите,что $BP+CQ=PQ$.

Решение

Из условия следует, что $\angle PAQ=(\smile PMQ-\smile PQ)/2=\pi-\smile PQ=\pi-2\angle PMQ$, т.е. $\angle PMQ=\angle APQ$. Значит, $PM$ и $QM$ – биссектрисы углов $BPQ$, $CQP$ соответственно, а $M$ – центр вневписанной окружности треугольника $APQ$. Тогда, опустив перпендикуляры $MX$, $MY$ на $AB$, $AC$ соответственно, получим, что $PX=QY=PQ/2$. Кроме того, поскольку $MB=MC$, то $BX=CY$. Следовательно, $BP+QC=PX+XB+QY-YC=PQ$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
Заочный тур
задача
Номер	3 [8 кл]