Задача 67337

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.

Решение

Точки $A$, $B_1$, $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AI$, где $I$ – центр вписанной окружности. Поэтому $\angle IA_2A=\angle IA_2P=90^{\circ}$ и точка $A_2$ лежит на окружности с диаметром $IP$, которая касается $\omega$ в точке $P$. Точки $B_2$, $C_2$ также лежат на этой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
Заочный тур
задача
Номер	4 [8 кл]