Задача 67340
|
|
 |
Условие
Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.
Решение
Пусть центр $I$ вписанной окружности четырехугольника $ABCD$ лежит внутри треугольника $ABC$. Тогда $\angle AIC=\angle ABC+\angle IAB+\angle ICB=\angle ABC+\pi/2$. Таким образом, если даны точки $A$, $C$, $I$, то мы можем найти угол $B$ и построить описанную окружность с центром $O$. Кроме того, из теоремы Понселе следует, что прямая $OI$ проходит через точку $L$ пересечения диагоналей четырехугольника, середины $M$, $N$ диагоналей $AC$, $BD$ соответственно лежат на окружности с диаметром $OL$, а прямая $MN$ проходит через $I$. Поэтому мы можем построить точку $N$, а затем и диагональ $BD$.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2024 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 7 [8-9 кл] |
