Условие
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Точка $T$ на прямой $BC$ выбрана так, что прямая $AT$ касается $\omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$, а окружность $\omega$ в точке $A_0$. Прямая $TA_0$ пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на отрезке $BC$ такова, что $BL=CK$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAK$.
Решение
Проекция окружности $\omega$ на себя из точки $T$ меняет местами $B$ с $C$ и $P$ с $A_0$, а точку $A$ оставляет на месте. Отсюда получаем равенство двойных отношений $(BCAA_0)=(CBAP)$, т.е. $\sin\angle BAP:\sin\angle CAP=PB:PC=AB^2:AC^2$. С другой стороны, применяя теорему синусов к треугольникам $AKC$ и $BKC$, получаем $\sin\angle CAK:\sin\angle BAK=(CK/AC):(BK/AB)=(AB/AC)\cdot (BL/AL)=AB^2:AC^2$, что влечет искомое равенство.
Источники и прецеденты использования
