Задача 67346

Тема:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?

Решение

Поскольку любой многоугольник можно разрезать на треугольники, а любой треугольник – на равнобедренные треугольники (проведя высоту к наибольшей стороне и соединив ее основание с серединами двух других сторон), то достаточно решить задачу для равнобедренных треугольников.

Заметим, что правильный треугольник можно разрезать на три равнобоких трапеции, проведя из его центра три луча, параллельных сторонам.

Теперь, если угол при вершине равнобедренного треугольника больше $60^{\circ}$, его можно разрезать на равнобокие трапеции, применив несколько раз конструкцию на рисунке ниже.

Если же угол при вершине равнобедренного треугольника меньше $60^{\circ}$, то разрежем его на три треугольника, соединив вершины с центром описанной окружности. Два из получившихся треугольников будут тупоугольными, а у третьего угол при вершине вдвое больше, чем у исходного. Повторив этот прием несколько раз, мы разрежем исходный треугольник на равнобедренные с углами при вершине больше $60^{\circ}$.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
Заочный тур
задача
Номер	13 [8-11 кл]