Условие
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Отрезки $BB_1$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $D$. Точка $E$ – проекция точки $D$ на сторону $AC$. Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $EP=PD$, $EQ=QD$. Докажите, что $\angle PDB_1=\angle EDQ$.
Решение
Для любой точки отрезка $A_1C_1$ сумма расстояний от нее до прямых $AB$ и $BC$ равна расстоянию до $AC$ (поскольку это верно для концов отрезка). Так как точка $D$ равноудалена от $AB$ и $BC$, каждое из этих расстояний равно половине $DE$, т.е. $D$ – центр вписанной окружности треугольника $BPQ$. Поэтому $\angle EPQ=\angle DPB$ и $\angle EQP=\angle DQB$. Таким образом, точки $B$ и $E$ изогонально сопряжены относительно треугольника $DPQ$, откуда следует искомое равенство.
Источники и прецеденты использования
