Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67357
Темы:    [ Прямоугольный тетраэдр ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пирамиде SABC все углы при вершине S прямые. Точки A, B, C на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что треугольники ABC и ABC подобны. Верно ли, что плоскости ABC и ABC параллельны?

Решение 1

Пусть AB=tAB. Тогда BC=tBC, CA=tAC. Так как углы при вершине S прямые, то SA2+SB2=t2AB2, SA2+SC2=t2AC2, SB2+SC2=t2BC2. Из этих равенств получаем, что SA2=t2(AB2+AC2BC2)/2=t2SA2, т.е. SA=tSA. Аналогично SB=tSB, SC=tSC и, следовательно, плоскости ABC и ABC параллельны.

Решение 2

Предположим, что плоскости ABC и ABC не параллельны. Тогда сделаем гомотетию с центром S, переводящую треугольник ABC в треугольник, равный ABC, а затем движение, переводящее полученный треугольник в ABC. Тогда точка S перейдет в точку S, отличную от S и точки, симметричной S относительно плоскости ABC. С другой стороны, обе точки S, S лежат на трех сферах с диаметрами AB, BC, CA. Поскольку центры этих сфер не лежат на одной прямой, у них есть лишь две точки пересечения, симметричные относительно плоскости ABC – противоречие.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2024
Заочный тур
задача
Номер 24 [11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .