ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67357
УсловиеВ пирамиде SABC все углы при вершине S прямые. Точки A′, B′, C′ на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что треугольники ABC и A′B′C′ подобны. Верно ли, что плоскости ABC и A′B′C′ параллельны?
Решение 1Пусть A′B′=tAB. Тогда B′C′=tBC, C′A′=tAC. Так как углы при вершине S прямые, то SA′2+SB′2=t2AB2, SA′2+SC′2=t2AC2, SB′2+SC′2=t2BC2. Из этих равенств получаем, что SA′2=t2(AB2+AC2−BC2)/2=t2SA2, т.е. SA′=tSA. Аналогично SB′=tSB, SC′=tSC и, следовательно, плоскости ABC и A′B′C′ параллельны. Решение 2Предположим, что плоскости ABC и A′B′C′ не параллельны. Тогда сделаем гомотетию с центром S, переводящую треугольник A′B′C′ в треугольник, равный ABC, а затем движение, переводящее полученный треугольник в ABC. Тогда точка S перейдет в точку S′, отличную от S и точки, симметричной S относительно плоскости ABC. С другой стороны, обе точки S, S′ лежат на трех сферах с диаметрами AB, BC, CA. Поскольку центры этих сфер не лежат на одной прямой, у них есть лишь две точки пересечения, симметричные относительно плоскости ABC – противоречие. ОтветДа. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке