Задача 67358
|
|
 |
Условие
Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.
Решение
Из вписанного четырехугольника $XPOX_2$ и равнобедренного треугольника $XOX_1$ получаем $\angle PX_2O=\angle PXO=\angle PX_1O$. А поскольку $OX_1=OX_2$, то $\angle PX_1X_2=\angle PX_2X_1$ и $PX_1=PX_2$. Таким образом, $PO$ – серединный перпендикуляр ко всем отрезкам $X_1X_2$, т.е все эти отрезки параллельны.
