Задача 67362

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Евдокимов М.А., Казицына Т.В.

Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.

Решение

Возьмем на стороне $BC$ точку $N'$ такую, что $CN'=2$. Очевидно, что $MN'\parallel AC$. Кроме того, поскольку $CN'=2CK$ и $\angle N'CK=60^{\circ}$, треугольник $CKN'$ – прямоугольный, следовательно, $\angle MN'K=\angle MNK=90^{\circ}$. При этом $N\not=N'$, поскольку в противном случае точка $L$ лежала бы на стороне $AC$.

Так как точки $N$ и $N'$ лежат на окружности с диаметром $MK$, то $\angle MKN=\angle MN'N=60^{\circ}$. Соответственно $\angle KMN=30^{\circ}$.

Ответ

$30^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5