Условие
На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.
Решение
Пусть $P$ лежит на медиане из вершины $B$. Тогда $AC$ касается окружности $CPB$, а значит, и окружности $APB$, потому что медиана является их радикальной осью. С другой стороны, окружность $APB$ касается стороны $BC$, следовательно, $AC=BC$ и точка $Q$, симметричная $P$ относительно оси симметрии треугольника удовлетворяет условию.
Замечания
Утверждение задачи можно переформулировать: если точка Брокара лежит на медиане (симедиане), то треугольник равнобедренный и эта точка является также точкой Шалтая и Болтая.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.6 |
