Задача 67379

Темы:    [ Радикальная ось ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

Решение

Пусть $P$ лежит на медиане из вершины $B$. Тогда $AC$ касается окружности $CPB$, а значит, и окружности $APB$, потому что медиана является их радикальной осью. С другой стороны, окружность $APB$ касается стороны $BC$, следовательно, $AC=BC$ и точка $Q$, симметричная $P$ относительно оси симметрии треугольника удовлетворяет условию.

Замечания

Утверждение задачи можно переформулировать: если точка Брокара лежит на медиане (симедиане), то треугольник равнобедренный и эта точка является также точкой Шалтая и Болтая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6