Задача 67385

Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7,8

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Из 54 красных и 54 белых брусков 1×1×2 сложили куб 6×6×6.
Какое наибольшее количество красных клеточек могло оказаться на поверхности куба?

Решение

Распилим мысленно каждый брусок на два кубика и будем выкладывать куб из них. У нас получилось $108$ красных и $108$ белых кубиков. У каждого кубика на поверхности большого куба может оказаться от нуля до трёх граней-клеточек. Три грани на поверхности будут у восьми угловых кубиков. Две грани – у кубиков, расположенных вдоль рёбер большого куба, но не на углу. Вдоль каждого из $12$ ребер таких кубиков $4$, а всего их $48$. Больше всего красных клеточек окажется на поверхности, если красными будут эти $8 + 48 = 56$ кубиков, а также $108 - 56 = 52$ кубика с одной гранью на поверхности. Тогда на поверхности окажется $3 \cdot 8 + 2 \cdot 48 + 52 = 172$ красных клеточки.

Приведём теперь пример выкладывания брусков, приводящего к такому результату. Из $28$ красных брусков сложим каркас (см. рисунок), а из $32$ белых брусков – внутренний куб $4 \times 4 \times 4$.

Оставшиеся шесть квадратных «окон» $4\times4$ на каждой грани заполним произвольно. Тогда на поверхности куба будет $120$ красных клеток каркаса (по $20$ на каждой грани) и ещё $52$ красных клетки (по две у каждого из оставшихся $54 - 28 = 26$ красных брусков). Итого $120 + 52 = 172$ клетки.

Ответ

172.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2025
класс
Класс	6
задача
Номер	4