Условие
Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ лишь то, что многочлен $P(x) + P(-x)$ имеет ровно 45 различных действительных корней. Барон, не зная даже, чему равно $n$, утверждает, что может определить один из коэффициентов $a_n$, ..., $a_1$, $a_0$ (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?
Решение
Отметим действительные корни многочлена $P(x) + P(–x)$ на координатной прямой. Поскольку $P(x) + P(–x)$ – чётная функция, отмеченные корни симметричны относительно нуля. Так как их нечётное количество, один из этих корней равен нулю. Тогда $2a_0 = P(0) + P(–0) = 0$, откуда $a_0$ = 0.
Ответ
Не ошибается.
Замечания
Никакой другой коэффициент не определён условием однозначно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
