Задача 67400

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Юран А.Ю.

На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через $3$ часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через $4$ часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?

Решение 1

Контрпример. Пусть длинная стрелка за час делает один оборот, средняя – $\frac18$ оборота, короткая – половину оборота, «утром» длинная и короткая стрелки были направлены «вверх», а средняя отстояла от них на $\frac38$ оборота против часовой стрелки. Тогда через $3$ часа длинная и средняя стрелки встретятся «в верхней точке» циферблата, так как обе будут направлены «вверх», а ещё через $4$ часа короткая и средняя стрелки встретятся в «нижней точке» циферблата, так как обе будут направлены вниз (то есть условия выполнены). Поскольку длинная стрелка быстрее короткой на половину оборота в час, они встречаются в точности через каждые два часа, то есть все их встречи происходят через чётное число часов после «утра», и значит, происходят «в верхней точке» циферблата. Но средняя стрелка проходит через «верхнюю точку» только через нечётное число часов после «утра», поэтому все три стрелки никогда не совпадут.

Решение 2

Пусть $p$ и $q$ – произвольные различные действительные числа. Пусть «утром» длинная и короткая стрелки стартуют из одного положения и идут со скоростями $p$ и $q$ оборотов в час соответственно. Далее эти стрелки совпадают в точности в те моменты, когда более быстрая из них прошла на целое число оборотов больше, чем другая. Так как множество целых положительных чисел счётно, то и таких моментов счётно, а значит, множество положений в которых эти стрелки совпадают не более чем счётно (в случае, когда $\frac{p}{q}$ рационально, этих положений конечное количество). Тогда пусть средняя стрелка неподвижно стоит в положении отличном от всех вышеописанных. Теперь умножим скорости всех стрелок на одно и тоже положительное число (положения встреч длинной и коротких стрелок не поменяются) так, чтобы через $q$ часов после «утра» длинная заняла положение средней. Тогда через $p$ часов после «утра» короткая займёт это положение (отношение скоростей не поменялось). Теперь увеличим скорости всех стрелок на одно и то же положительное число, скорости станут ненулевыми, а даты встреч соответствующих стрелок не изменятся (в частности, не появится одновременной встречи всех стрелок). В частности, при $p = 7$, $q = 3$ получаем в точности ситуацию, описанную в условии.

Решение 3

Пусть угловые скорости короткой, средней и длинной стрелок равны соответственно $\alpha$, $\alpha + \beta$ и $\alpha + \gamma$ градусов в час (нам удобны именно эти обозначения, ведь $\beta$ и $\gamma$ окажутся относительными скоростями стрелок), причём эти числа положительны. Назовём утреннее направление короткой стрелки (совпадающее с направлением длинной) начальным. Пусть средняя в этот момент отстояла от начального направления на угол $\delta$ градусов по часовой стрелке. Тогда через $t$ часов после начального момента короткая стрелка отстоит от начального направления на $\alpha t$ градусов, средняя – на $(\alpha + \beta)t + \delta$ градусов, длинная – на $(\alpha + \gamma)t$ градусов. Чтобы через $3$ часа длинная и средняя стрелки совпали, достаточно выполнения равенства $3(\alpha + \gamma) = 3(\alpha + \beta) + \delta$, или, что то же самое, $\delta = 3(\gamma – \beta)$. Аналогично, чтобы ещё через $4$ часа короткая и средняя стрелки совпали, достаточно того, чтобы $7\alpha = 7(\alpha + \beta) + \delta$, то есть, $\delta = –7\beta$. Итого, для выполнения условия задачи достаточно выполнения равенств $\beta = −\frac{\delta}{7}$ , $\gamma = \frac{4\delta}{21}$ . Докажем, что при иррациональном $\delta$ все три стрелки никогда не встретятся. Предположим противное. Чтобы три стрелки когда-нибудь встретились, необходимо и достаточно существования положительного вещественного числа $T$, для которого попарные разности $((\alpha + \beta)T + \delta) – \alpha T$, и $(\alpha + \gamma)T – \alpha T$ оказались целыми числами, кратными $360$. Иными словами, числа $\delta + \beta T$ и $\gamma T$ целые и кратны $360$. Подставим значения $\beta$ и $\gamma$. Получим, что для некоторого $T$ будут целыми числа $\delta\cdot(1 – \frac{T}{7})$ и $\delta\cdot\frac{4𝑇}{21}$. Отсюда отношение $\frac{\delta\cdot(1−\frac{T}{7})}{\delta\cdot\frac{4𝑇}{21}}$ рационально. Но тогда и $T$ рационально! Отсюда иррационально число $\delta\frac{4T}{21}$ как произведение ненулевого рационального и иррационального. Но оно должно быть целым. Противоречие.

Ответ

Не обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2023/24
Номер	45
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2